\(\int \frac {\sec ^4(c+d x) (A+C \sec ^2(c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx\) [698]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 378 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=-\frac {4 a C \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{b^5 d}-\frac {\left (2 A b^8-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+a^2 b^6 (3 A+20 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{7/2} b^5 (a+b)^{7/2} d}-\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))} \]

[Out]

-4*a*C*arctanh(sin(d*x+c))/b^5/d-(2*A*b^8-8*a^8*C+28*a^6*b^2*C-35*a^4*b^4*C+a^2*b^6*(3*A+20*C))*arctanh((a-b)^
(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(7/2)/b^5/(a+b)^(7/2)/d-1/6*(5*A*b^4-(12*a^4-23*a^2*b^2+6*b^4)*C)*
tan(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^2/d-1/3*(A*b^2+C*a^2)*sec(d*x+c)^3*tan(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*sec(d*x+c))^3+1/6*(3
*A*b^4-4*a^4*C+a^2*b^2*(2*A+9*C))*sec(d*x+c)^2*tan(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*sec(d*x+c))^2+1/2*a*(2*A*b^6+
4*a^6*C-11*a^4*b^2*C+3*a^2*b^4*(A+4*C))*tan(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*sec(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 2.07 (sec) , antiderivative size = 378, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 9, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.273, Rules used = {4184, 4183, 4175, 4167, 4083, 3855, 3916, 2738, 214} \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \tan (c+d x) \sec ^3(c+d x)}{3 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-C \left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right )\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)+3 A b^4\right ) \tan (c+d x) \sec ^2(c+d x)}{6 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)+2 A b^6\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+a^2 b^6 (3 A+20 C)+2 A b^8\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}}-\frac {4 a C \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{b^5 d} \]

[In]

Int[(Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^4,x]

[Out]

(-4*a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - ((2*A*b^8 - 8*a^8*C + 28*a^6*b^2*C - 35*a^4*b^4*C + a^2*b^6*(3*A + 20
*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((5*A*b^4 - (1
2*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*C)*Tan[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c +
d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^2*
Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^6 + 4*a^6*C - 11*a^4*b^2*C + 3*a^2*b^
4*(A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 214

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && NegQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3916

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a/b)*Si
n[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4083

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x
_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Csc[e + f*x], x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 4167

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m
+ 2))), x] + Dist[1/(b*(m + 2)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*A*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*
B*(m + 2) - a*C)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 4175

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(
e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e
+ f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Dist[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*C
sc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*((-a)*(b*B - a*C) + A*b^2) + (b*B*(a^2 + b^2*(m + 1)) - a*(A*b^2*(m + 2) +
C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Csc[e + f*x] - b*C*(m + 1)*(a^2 - b^2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e,
f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 4183

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*
(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Dist[d/(b*(a^2 - b^2)*
(m + 1)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b^2*(n - 1) - a*(b*B - a*C)*(n - 1)
+ b*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (b*(A*b - a*B)*(m + n + 1) + C*(a^2*n + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*
x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

Rule 4184

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e +
f*x])^(n - 1)/(b*f*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Dist[d/(b*(a^2 - b^2)*(m + 1)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m +
1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b^2*(n - 1) + a^2*C*(n - 1) + a*b*(A + C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (A*b^2*(m
+ n + 1) + C*(a^2*n + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 -
b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}-\frac {\int \frac {\sec ^3(c+d x) \left (3 \left (A b^2+a^2 C\right )-3 a b (A+C) \sec (c+d x)-\left (A b^2+4 a^2 C-3 b^2 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx}{3 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\sec ^2(c+d x) \left (2 \left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right )-2 a b \left (5 A b^2-\left (a^2-6 b^2\right ) C\right ) \sec (c+d x)-\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\sec (c+d x) \left (-3 b \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right )-a \left (a^2-b^2\right ) \left (5 A b^4+12 a^4 C-25 a^2 b^2 C+18 b^4 C\right ) \sec (c+d x)-b \left (a^2-b^2\right ) \left (5 A b^4-12 a^4 C+23 a^2 b^2 C-6 b^4 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\sec (c+d x) \left (-3 b^2 \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right )-24 a b \left (a^2-b^2\right )^3 C \sec (c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {(4 a C) \int \sec (c+d x) \, dx}{b^5}-\frac {\left (2 A b^8-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+a^2 b^6 (3 A+20 C)\right ) \int \frac {\sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {4 a C \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{b^5 d}-\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (2 A b^8-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+a^2 b^6 (3 A+20 C)\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \cos (c+d x)}{b}} \, dx}{2 b^6 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {4 a C \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{b^5 d}-\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (2 A b^8-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+a^2 b^6 (3 A+20 C)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}+\left (1-\frac {a}{b}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^6 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = -\frac {4 a C \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{b^5 d}-\frac {\left (3 a^2 A b^6+2 A b^8-8 a^8 C+28 a^6 b^2 C-35 a^4 b^4 C+20 a^2 b^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{7/2} b^5 (a+b)^{7/2} d}-\frac {\left (5 A b^4-\left (12 a^4-23 a^2 b^2+6 b^4\right ) C\right ) \tan (c+d x)}{6 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+a^2 b^2 (2 A+9 C)\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 A b^6+4 a^6 C-11 a^4 b^2 C+3 a^2 b^4 (A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 7.83 (sec) , antiderivative size = 564, normalized size of antiderivative = 1.49 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\frac {(b+a \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right ) \left (-\frac {48 \left (-2 A b^8+8 a^8 C-28 a^6 b^2 C+35 a^4 b^4 C-a^2 b^6 (3 A+20 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(-a+b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right ) \cos (c+d x) (b+a \cos (c+d x))^3}{\left (a^2-b^2\right )^{7/2}}+192 a C \cos (c+d x) (b+a \cos (c+d x))^3 \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )-192 a C \cos (c+d x) (b+a \cos (c+d x))^3 \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )-\frac {2 b \left (6 a^4 A b^5+54 a^2 A b^7+120 a^8 b C-318 a^6 b^3 C+246 a^4 b^5 C+36 a^2 b^7 C-24 b^9 C+a \left (5 a^4 b^4 (4 A-61 C)+72 b^8 (A-C)+72 a^8 C-28 a^6 b^2 C+a^2 b^6 (13 A+438 C)\right ) \cos (c+d x)+6 a^2 b \left (3 b^6 (3 A-2 C)+20 a^6 C-57 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+53 C)\right ) \cos (2 (c+d x))+4 a^5 A b^4 \cos (3 (c+d x))+11 a^3 A b^6 \cos (3 (c+d x))+24 a^9 C \cos (3 (c+d x))-68 a^7 b^2 C \cos (3 (c+d x))+65 a^5 b^4 C \cos (3 (c+d x))-6 a^3 b^6 C \cos (3 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (-a^2+b^2\right )^3}\right )}{24 b^5 d (A+2 C+A \cos (2 (c+d x))) (a+b \sec (c+d x))^4} \]

[In]

Integrate[(Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^4,x]

[Out]

((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*((-48*(-2*A*b^8 + 8*a^8*C - 28*a^6*b^2*C + 35*a^4*
b^4*C - a^2*b^6*(3*A + 20*C))*ArcTanh[((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c +
d*x])^3)/(a^2 - b^2)^(7/2) + 192*a*C*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)
/2]] - 192*a*C*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] - (2*b*(6*a^4*A*b^
5 + 54*a^2*A*b^7 + 120*a^8*b*C - 318*a^6*b^3*C + 246*a^4*b^5*C + 36*a^2*b^7*C - 24*b^9*C + a*(5*a^4*b^4*(4*A -
61*C) + 72*b^8*(A - C) + 72*a^8*C - 28*a^6*b^2*C + a^2*b^6*(13*A + 438*C))*Cos[c + d*x] + 6*a^2*b*(3*b^6*(3*A
- 2*C) + 20*a^6*C - 57*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 53*C))*Cos[2*(c + d*x)] + 4*a^5*A*b^4*Cos[3*(c + d*x)] + 11*a
^3*A*b^6*Cos[3*(c + d*x)] + 24*a^9*C*Cos[3*(c + d*x)] - 68*a^7*b^2*C*Cos[3*(c + d*x)] + 65*a^5*b^4*C*Cos[3*(c
+ d*x)] - 6*a^3*b^6*C*Cos[3*(c + d*x)])*Sin[c + d*x])/(-a^2 + b^2)^3))/(24*b^5*d*(A + 2*C + A*Cos[2*(c + d*x)]
)*(a + b*Sec[c + d*x])^4)

Maple [A] (verified)

Time = 1.14 (sec) , antiderivative size = 532, normalized size of antiderivative = 1.41

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (2 a^{2} A \,b^{4}+3 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 a^{6} C -2 a^{5} C b -18 a^{4} b^{2} C +5 C \,a^{3} b^{3}+20 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (a^{2} A \,b^{4}+9 A \,b^{6}+9 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (2 a^{2} A \,b^{4}-3 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 a^{6} C +2 a^{5} C b -18 a^{4} b^{2} C -5 C \,a^{3} b^{3}+20 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}\right )}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{3}}-\frac {\left (3 a^{2} A \,b^{6}+2 A \,b^{8}-8 a^{8} C +28 a^{6} b^{2} C -35 a^{4} b^{4} C +20 C \,a^{2} b^{6}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}}{b^{5}}-\frac {C}{b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}-\frac {4 C a \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{b^{5}}-\frac {C}{b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {4 C a \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(532\)
default	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (2 a^{2} A \,b^{4}+3 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 a^{6} C -2 a^{5} C b -18 a^{4} b^{2} C +5 C \,a^{3} b^{3}+20 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (a^{2} A \,b^{4}+9 A \,b^{6}+9 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (2 a^{2} A \,b^{4}-3 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 a^{6} C +2 a^{5} C b -18 a^{4} b^{2} C -5 C \,a^{3} b^{3}+20 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}\right )}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{3}}-\frac {\left (3 a^{2} A \,b^{6}+2 A \,b^{8}-8 a^{8} C +28 a^{6} b^{2} C -35 a^{4} b^{4} C +20 C \,a^{2} b^{6}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}}{b^{5}}-\frac {C}{b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}-\frac {4 C a \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{b^{5}}-\frac {C}{b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {4 C a \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(532\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2029\)

[In]

int(sec(d*x+c)^4*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/b^5*((-1/2*(2*A*a^2*b^4+3*A*a*b^5+6*A*b^6+6*C*a^6-2*C*a^5*b-18*C*a^4*b^2+5*C*a^3*b^3+20*C*a^2*b^4)*a*b/
(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5+2/3*(A*a^2*b^4+9*A*b^6+9*C*a^6-29*C*a^4*b^2+30*C*a^2*b^4)
*a*b/(a^2-2*a*b+b^2)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(2*A*a^2*b^4-3*A*a*b^5+6*A*b^6+6*C*a^6+2*C*a^5*b
-18*C*a^4*b^2-5*C*a^3*b^3+20*C*a^2*b^4)*a*b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1
/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^3-1/2*(3*A*a^2*b^6+2*A*b^8-8*C*a^8+28*C*a^6*b^2-35*C*a^4*b^4+20*C*a^2*b^
6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a+b)*(a-b))^(1/2)*arctanh((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a+b)*(a-b))^(1/2)))-C/
b^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)-4*C*a/b^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)-C/b^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+4*C*a/b^5*ln(tan(1/
2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1183 vs. \(2 (362) = 724\).

Time = 16.52 (sec) , antiderivative size = 2424, normalized size of antiderivative = 6.41 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((8*C*a^11 - 28*C*a^9*b^2 + 35*C*a^7*b^4 - (3*A + 20*C)*a^5*b^6 - 2*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*
C*a^10*b - 28*C*a^8*b^3 + 35*C*a^6*b^5 - (3*A + 20*C)*a^4*b^7 - 2*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*C*a^9*b^2 -
28*C*a^7*b^4 + 35*C*a^5*b^6 - (3*A + 20*C)*a^3*b^8 - 2*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (8*C*a^8*b^3 - 28*C*a^6*b^5
+ 35*C*a^4*b^7 - (3*A + 20*C)*a^2*b^9 - 2*A*b^11)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) - (a^
2 - 2*b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(a^2 - b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)*sin(d*x + c) + 2*a^2 - b^2)/(a^2*cos(d*x +
c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + b^2)) - 24*((C*a^12 - 4*C*a^10*b^2 + 6*C*a^8*b^4 - 4*C*a^6*b^6 + C*a^4*b^8)*cos(d*
x + c)^4 + 3*(C*a^11*b - 4*C*a^9*b^3 + 6*C*a^7*b^5 - 4*C*a^5*b^7 + C*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(C*a^10*b^2 -
4*C*a^8*b^4 + 6*C*a^6*b^6 - 4*C*a^4*b^8 + C*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (C*a^9*b^3 - 4*C*a^7*b^5 + 6*C*a^5*b^7
- 4*C*a^3*b^9 + C*a*b^11)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 24*((C*a^12 - 4*C*a^10*b^2 + 6*C*a^8*b^4 - 4*
C*a^6*b^6 + C*a^4*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(C*a^11*b - 4*C*a^9*b^3 + 6*C*a^7*b^5 - 4*C*a^5*b^7 + C*a^3*b^9)*cos
(d*x + c)^3 + 3*(C*a^10*b^2 - 4*C*a^8*b^4 + 6*C*a^6*b^6 - 4*C*a^4*b^8 + C*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (C*a^9*b^
3 - 4*C*a^7*b^5 + 6*C*a^5*b^7 - 4*C*a^3*b^9 + C*a*b^11)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + 2*(6*C*a^8*b^4
- 24*C*a^6*b^6 + 36*C*a^4*b^8 - 24*C*a^2*b^10 + 6*C*b^12 + (24*C*a^11*b - 92*C*a^9*b^3 + (4*A + 133*C)*a^7*b^5
+ (7*A - 71*C)*a^5*b^7 - (11*A - 6*C)*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(20*C*a^10*b^2 - 77*C*a^8*b^4 + (A + 110*C)
*a^6*b^6 + (8*A - 59*C)*a^4*b^8 - 3*(3*A - 2*C)*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (44*C*a^9*b^3 + (2*A - 169*C)*a^7*b
^5 - (7*A - 239*C)*a^5*b^7 + (23*A - 132*C)*a^3*b^9 - 18*(A - C)*a*b^11)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b^
5 - 4*a^9*b^7 + 6*a^7*b^9 - 4*a^5*b^11 + a^3*b^13)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + 6*a^6*b^10 - 4
*a^4*b^12 + a^2*b^14)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + 6*a^5*b^11 - 4*a^3*b^13 + a*b^15)*d*cos(d*x
+ c)^2 + (a^8*b^8 - 4*a^6*b^10 + 6*a^4*b^12 - 4*a^2*b^14 + b^16)*d*cos(d*x + c)), 1/6*(3*((8*C*a^11 - 28*C*a^9
*b^2 + 35*C*a^7*b^4 - (3*A + 20*C)*a^5*b^6 - 2*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*C*a^10*b - 28*C*a^8*b^3 + 35*C
*a^6*b^5 - (3*A + 20*C)*a^4*b^7 - 2*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*C*a^9*b^2 - 28*C*a^7*b^4 + 35*C*a^5*b^6 -
(3*A + 20*C)*a^3*b^8 - 2*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (8*C*a^8*b^3 - 28*C*a^6*b^5 + 35*C*a^4*b^7 - (3*A + 20*C)
*a^2*b^9 - 2*A*b^11)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)/((a^2 - b^2)
*sin(d*x + c))) - 12*((C*a^12 - 4*C*a^10*b^2 + 6*C*a^8*b^4 - 4*C*a^6*b^6 + C*a^4*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(C*a^
11*b - 4*C*a^9*b^3 + 6*C*a^7*b^5 - 4*C*a^5*b^7 + C*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(C*a^10*b^2 - 4*C*a^8*b^4 + 6*C
*a^6*b^6 - 4*C*a^4*b^8 + C*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (C*a^9*b^3 - 4*C*a^7*b^5 + 6*C*a^5*b^7 - 4*C*a^3*b^9 + C
*a*b^11)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 12*((C*a^12 - 4*C*a^10*b^2 + 6*C*a^8*b^4 - 4*C*a^6*b^6 + C*a^4*
b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(C*a^11*b - 4*C*a^9*b^3 + 6*C*a^7*b^5 - 4*C*a^5*b^7 + C*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(C
*a^10*b^2 - 4*C*a^8*b^4 + 6*C*a^6*b^6 - 4*C*a^4*b^8 + C*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (C*a^9*b^3 - 4*C*a^7*b^5 +
6*C*a^5*b^7 - 4*C*a^3*b^9 + C*a*b^11)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + (6*C*a^8*b^4 - 24*C*a^6*b^6 + 36*
C*a^4*b^8 - 24*C*a^2*b^10 + 6*C*b^12 + (24*C*a^11*b - 92*C*a^9*b^3 + (4*A + 133*C)*a^7*b^5 + (7*A - 71*C)*a^5*
b^7 - (11*A - 6*C)*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(20*C*a^10*b^2 - 77*C*a^8*b^4 + (A + 110*C)*a^6*b^6 + (8*A - 59
*C)*a^4*b^8 - 3*(3*A - 2*C)*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (44*C*a^9*b^3 + (2*A - 169*C)*a^7*b^5 - (7*A - 239*C)*a
^5*b^7 + (23*A - 132*C)*a^3*b^9 - 18*(A - C)*a*b^11)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + 6*a^
7*b^9 - 4*a^5*b^11 + a^3*b^13)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + 6*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 + a^2*b^14
)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + 6*a^5*b^11 - 4*a^3*b^13 + a*b^15)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^8*b^8 -
4*a^6*b^10 + 6*a^4*b^12 - 4*a^2*b^14 + b^16)*d*cos(d*x + c))]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\int \frac {\left (A + C \sec ^{2}{\left (c + d x \right )}\right ) \sec ^{4}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)**4*(A+C*sec(d*x+c)**2)/(a+b*sec(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((A + C*sec(c + d*x)**2)*sec(c + d*x)**4/(a + b*sec(c + d*x))**4, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 878 vs. \(2 (362) = 724\).

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 878, normalized size of antiderivative = 2.32 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/3*(3*(8*C*a^8 - 28*C*a^6*b^2 + 35*C*a^4*b^4 - 3*A*a^2*b^6 - 20*C*a^2*b^6 - 2*A*b^8)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/
pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(-a^2 + b^2)))/((a^6
*b^5 - 3*a^4*b^7 + 3*a^2*b^9 - b^11)*sqrt(-a^2 + b^2)) - 12*C*a*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/b^5 + 12*C*
a*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/b^5 - (18*C*a^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 42*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
5 - 24*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 117*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2
*c)^5 - 24*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 105*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 + 6*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 60*C*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 27*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^5 + 18*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 36*C*a^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 152*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^3 - 4*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 236*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 32*A*a^3*b^6*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^3 + 120*C*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*C*a^9*tan(1/2*
d*x + 1/2*c) + 42*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 117*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) + 6*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1
/2*c) + 105*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*C*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2
*c) + 27*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^6*b^4 - 3*a^4*b^6 + 3*a^2*b^8 -
b^10)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - a - b)^3) - 6*C*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^2 - 1)*b^4))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 29.44 (sec) , antiderivative size = 10065, normalized size of antiderivative = 26.63 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + C/cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^4*(a + b/cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

(C*a*atan(((C*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a
^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^
2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 +
768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 -
48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*
b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (4*C*a*((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 -
3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C
*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 +
143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/
(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15
+ 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (32*C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a
^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b
^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 +
10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8))))/b^5)*4i)/b^5 + (C
*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*
C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2
025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*
b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b
^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*
b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) + (4*C*a*((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20
+ 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 9
5*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^
14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^2
3 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14
- a^10*b^13 - a^11*b^12) + (32*C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120
*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12
*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14
- 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8))))/b^5)*4i)/b^5)/((32*(128*C^3*a^
16 - 64*C^3*a^15*b + 320*C^3*a^4*b^12 + 480*C^3*a^5*b^11 - 1520*C^3*a^6*b^10 - 1280*C^3*a^7*b^9 + 3088*C^3*a^8
*b^8 + 1602*C^3*a^9*b^7 - 3472*C^3*a^10*b^6 - 1088*C^3*a^11*b^5 + 2288*C^3*a^12*b^4 + 400*C^3*a^13*b^3 - 832*C
^3*a^14*b^2 + 8*A^2*C*a*b^15 + 32*A*C^2*a^2*b^14 + 128*A*C^2*a^3*b^13 - 48*A*C^2*a^4*b^12 + 8*A*C^2*a^5*b^11 -
48*A*C^2*a^6*b^10 - 148*A*C^2*a^7*b^9 + 112*A*C^2*a^8*b^8 + 160*A*C^2*a^9*b^7 - 48*A*C^2*a^10*b^6 - 48*A*C^2*
a^11*b^5 + 24*A^2*C*a^3*b^13 + 18*A^2*C*a^5*b^11))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10
*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (4*C*a*((8*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 -
128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8
+ 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a
^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 +
b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^
10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (4*C*a*((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19
+ 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 -
73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*
b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21
- 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a
^11*b^12) - (32*C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120
*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*
b^11 - 8*a^14*b^10))/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 -
10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8))))/b^5))/b^5 - (4*C*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*
A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^
13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^
9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A
*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b
^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9
- a^11*b^8) + (4*C*a*((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18
- 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19
+ 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^
12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 +
10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (3
2*C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 16
0*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*
b^10))/(b^5*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 +
5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8))))/b^5))/b^5))*8i)/(b^5*d) - ((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(72*C*a^8
+ 18*C*b^8 + 45*A*a^2*b^6 - 7*A*a^3*b^5 + 10*A*a^4*b^4 - 72*C*a^2*b^6 - 60*C*a^3*b^5 + 273*C*a^4*b^4 + 47*C*a^
5*b^3 - 236*C*a^6*b^2 - 18*A*a*b^7 - 12*C*a^7*b))/(3*b^4*(a + b)^2*(a - b)^3) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(72*C*a^
8 + 18*C*b^8 + 45*A*a^2*b^6 + 7*A*a^3*b^5 + 10*A*a^4*b^4 - 72*C*a^2*b^6 + 60*C*a^3*b^5 + 273*C*a^4*b^4 - 47*C*
a^5*b^3 - 236*C*a^6*b^2 + 18*A*a*b^7 + 12*C*a^7*b))/(3*b^4*(a + b)^3*(a - b)^2) - (tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*C*a^7
- 2*C*b^7 - 3*A*a^2*b^5 + 2*A*a^3*b^4 + 6*C*a^2*b^5 + 26*C*a^3*b^4 - 11*C*a^4*b^3 - 24*C*a^5*b^2 + 6*A*a*b^6
- 2*C*a*b^6 + 4*C*a^6*b))/(b^4*(a + b)*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(8*C*a^7 + 2*C*b^7 + 3*A*a^2*b^5 + 2
*A*a^3*b^4 - 6*C*a^2*b^5 + 26*C*a^3*b^4 + 11*C*a^4*b^3 - 24*C*a^5*b^2 + 6*A*a*b^6 - 2*C*a*b^6 - 4*C*a^6*b))/(b
^4*(a + b)^3*(a - b)))/(d*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^2 - 6*a^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(
6*a^2*b + 4*a^3 - 2*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a^3 - 6*a^2*b + 2*b^3) + a^3 + b^3 + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(
3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3))) + (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b
+ 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 -
824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11
*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^
6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b
^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b
^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 +
20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^
16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a
*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a
^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)
*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^
3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^1
4 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13
+ 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 +
10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*((a + b)^7*(a - b)^
7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17
+ 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2
)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2)*1i)/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 2
1*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^
2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13
+ 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*
b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C
*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^1
7 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 -
a^11*b^8) + (((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a
^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*
a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12
- 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*
b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (4*tan(c/2
+ (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*
a^6*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160
*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 -
7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5
*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^1
0*b^9 - a^11*b^8)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4
+ 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 -
a^14*b^5)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C
*a^6*b^2)*1i)/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^1
4*b^5)))/((32*(128*C^3*a^16 - 64*C^3*a^15*b + 320*C^3*a^4*b^12 + 480*C^3*a^5*b^11 - 1520*C^3*a^6*b^10 - 1280*C
^3*a^7*b^9 + 3088*C^3*a^8*b^8 + 1602*C^3*a^9*b^7 - 3472*C^3*a^10*b^6 - 1088*C^3*a^11*b^5 + 2288*C^3*a^12*b^4 +
400*C^3*a^13*b^3 - 832*C^3*a^14*b^2 + 8*A^2*C*a*b^15 + 32*A*C^2*a^2*b^14 + 128*A*C^2*a^3*b^13 - 48*A*C^2*a^4*
b^12 + 8*A*C^2*a^5*b^11 - 48*A*C^2*a^6*b^10 - 148*A*C^2*a^7*b^9 + 112*A*C^2*a^8*b^8 + 160*A*C^2*a^9*b^7 - 48*A
*C^2*a^10*b^6 - 48*A*C^2*a^11*b^5 + 24*A^2*C*a^3*b^13 + 18*A^2*C*a^5*b^11))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^
3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^
12) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b + 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 +
64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 - 824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9
+ 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a
^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^
10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*
a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) - (((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 +
3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 + 20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*
C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14
+ 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23
- 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 -
a^10*b^13 - a^11*b^12) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 +
20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19
- 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^14 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*
a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12
*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b
^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^
2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^
8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 +
20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11
- 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^16 + 128*C^2*a^16 - 128*C^2*a^15*b
+ 12*A^2*a^2*b^14 + 9*A^2*a^4*b^12 + 64*C^2*a^2*b^14 - 128*C^2*a^3*b^13 + 80*C^2*a^4*b^12 + 768*C^2*a^5*b^11 -
824*C^2*a^6*b^10 - 1920*C^2*a^7*b^9 + 2025*C^2*a^8*b^8 + 2560*C^2*a^9*b^7 - 2600*C^2*a^10*b^6 - 1920*C^2*a^11
*b^5 + 1920*C^2*a^12*b^4 + 768*C^2*a^13*b^3 - 768*C^2*a^14*b^2 + 80*A*C*a^2*b^14 - 20*A*C*a^4*b^12 - 98*A*C*a^
6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 48*A*C*a^10*b^6))/(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 + 10*a^5*b
^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8) + (((16*(2*A*b^24 - 3*A*a^2*b
^22 + 3*A*a^3*b^21 - 3*A*a^4*b^20 + 3*A*a^5*b^19 + 7*A*a^6*b^18 - 7*A*a^7*b^17 - 3*A*a^8*b^16 + 3*A*a^9*b^15 +
20*C*a^2*b^22 + 36*C*a^3*b^21 - 95*C*a^4*b^20 - 73*C*a^5*b^19 + 193*C*a^6*b^18 + 87*C*a^7*b^17 - 217*C*a^8*b^
16 - 63*C*a^9*b^15 + 143*C*a^10*b^14 + 25*C*a^11*b^13 - 52*C*a^12*b^12 - 4*C*a^13*b^11 + 8*C*a^14*b^10 - 2*A*a
*b^23 - 8*C*a*b^23))/(a*b^22 + b^23 - 5*a^2*b^21 - 5*a^3*b^20 + 10*a^4*b^19 + 10*a^5*b^18 - 10*a^6*b^17 - 10*a
^7*b^16 + 5*a^8*b^15 + 5*a^9*b^14 - a^10*b^13 - a^11*b^12) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)
*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2)*(8*a*b^23 - 8*a^2*b^22 - 48*a^
3*b^21 + 48*a^4*b^20 + 120*a^5*b^19 - 120*a^6*b^18 - 160*a^7*b^17 + 160*a^8*b^16 + 120*a^9*b^15 - 120*a^10*b^1
4 - 48*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 + 8*a^13*b^11 - 8*a^14*b^10))/((b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13
+ 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)*(a*b^18 + b^19 - 5*a^2*b^17 - 5*a^3*b^16 + 10*a^4*b^15 +
10*a^5*b^14 - 10*a^6*b^13 - 10*a^7*b^12 + 5*a^8*b^11 + 5*a^9*b^10 - a^10*b^9 - a^11*b^8)))*((a + b)^7*(a - b)^
7)^(1/2)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17
+ 21*a^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2
)*(2*A*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2))/(2*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a
^4*b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5))))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*A
*b^8 - 8*C*a^8 + 3*A*a^2*b^6 + 20*C*a^2*b^6 - 35*C*a^4*b^4 + 28*C*a^6*b^2)*1i)/(d*(b^19 - 7*a^2*b^17 + 21*a^4*
b^15 - 35*a^6*b^13 + 35*a^8*b^11 - 21*a^10*b^9 + 7*a^12*b^7 - a^14*b^5))